Калькулятор стандартного отклонения
μ = Σx/N; D = Σx²/N − μ²; σ = √D; выборочная делит на N−1; CV = σ/μ
Калькулятор стандартного отклонения — по сумме и сумме квадратов
Калькулятор стандартного отклонения закрывает задачу там, где данные уже агрегированы: прибор отдал N, сумму и сумму квадратов, а нужны среднее, дисперсия и σ. Перебирать исходный ряд не требуется — рабочая формула «среднее квадратов минус квадрат среднего» даёт дисперсию одним проходом. Введите три итога — калькулятор стандартного отклонения вернёт среднее, генеральную и выборочную дисперсии с корнями σ и s, плюс коэффициент вариации, который скажет, однородны данные или разбросаны. Лабораторная, контроль качества, волатильность портфеля — арифметика везде одна.
Как работает калькулятор стандартного отклонения: один проход по данным
Среднее: μ = Σx ÷ N. Эталон: 40 ÷ 8 = 5 — за эталон берём классический ряд 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 из учебников.
Генеральная: D = Σx² ÷ N − μ²; σ = √D: 232 ÷ 8 − 25 = 4; σ = 2,00. Выборочная: d = (Σx² − Σx² ÷ N) ÷ (N − 1): (232 − 200) ÷ 7 = 4,57; s = 2,14.
Коэффициент вариации: CV = σ ÷ μ × 100 %: 2 ÷ 5 = 40,0 % — разброс велик; для ряда 1–5 со средним 3 и σ = 1,41 CV равен 47,1 %.
Проверочные эталоны дисперсии
Рабочая формула одним проходом; ряды — учебная классика, сверено с открытыми калькуляторами 27.08.2026:
| Ряд (N, Σx, Σx²) | Среднее μ | Ген. дисперсия / σ | Выб. дисперсия / s | CV, % |
|---|---|---|---|---|
| 2,4,4,4,5,5,7,9 (8; 40; 232) | 5,00 | 4,00 / 2,00 | 4,57 / 2,14 | 40,0 |
| 1,2,3,4,5 (5; 15; 55) | 3,00 | 2,00 / 1,41 | 2,50 / 1,58 | 47,1 |
| 10,10,10 (3; 30; 300) | 10,00 | 0,00 / 0,00 | 0,00 / 0,00 | 0,0 |
| 7,8,9 (3; 24; 194) | 8,00 | 0,67 / 0,82 | 1,00 / 1,00 | 10,2 |
От чего зависит реальный расход
Калькулятор стандартного отклонения держит формулы, а анализ добавляет контекст:
- σ чувствителен к выбросам. Квадрат усиливает дальние точки: один пришибленный ноль или лишняя девятка сдвигает дисперсию вдвое. Учебный ряд с заброшенной сотней даёт σ порядка 33 — фильтруйте данные до расчёта.
- Поправка Бесселя важна на малых N. При N = 3 разница между делением на N и на N−1 — полуторная: 0,67 против 1,00. На больших выборках поправка растворяется, на малых — решает.
- CV спасает при сравнении рядов. Разброс зарплат и разброс температур нельзя сравнить в абсолютных σ: одна тысяча при среднем пятьдесят тысяч и один градус при среднем восемнадцать — разные истории, а CV показывает их соизмеримо.
- Нормальность не гарантируется. Два-thirds-правило ±1σ работает для колоколообразных распределений; у скошенных данных доля внутри σ другая. Формула дисперсии считает на любых данных, интерпретация — с оговоркой.
- Одинаковые данные дают ноль. Постоянный ряд — вырожденный случай: D = 0, σ = 0, CV = 0 %. На приборе это индикатор зависшего датчика, а не идеальной стабильности.
Рабочая схема: N, Σx, Σx² → калькулятор стандартного отклонения → среднее и обе дисперсии → σ в единицах данных → CV для вывода об однородности. Числа держит формула, распределение — ваши глаза на графике.
Практические примеры расчёта
Учебный ряд из восьми. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: среднее 5,00, генеральная дисперсия 4,00, σ = 2,00, выборочные 4,57 и 2,14, CV = 40,0 %.
Натуральный ряд 1–5. Среднее 3,00, генеральные 2,00 и σ = 1,41, выборочные 2,50 и 1,58, CV = 47,1 % — половина среднего, ряд разбросан.
Стабильные замеры 7, 8, 9. Среднее 8,00, дисперсии 0,67/1,00, σ = 0,82, CV = 10,2 % — граница однородности: смотрите на точность прибора.
Постоянный ряд. Три десятки: среднее 10,00, обе дисперсии 0,00, σ = 0,00, CV = 0,0 % — данных по сути одно значение.
Как добыть Σx и Σx² без переписывания данных
В электричке: итоги считаются формулами СУММ и СУММКВ по столбцу, N — функцией СЧЁТ. Три ячейки под столбцом — и всё, калькулятор стандартного отклонения добивает остальное, включая обе версии дисперсии.
В учебной задаче агрегаты часто даны прямо в условии: «по пятидесяти измерениям сумма равна…, сумма квадратов…». Это ровно вход нашего расчёта: подставляйте без восстановления каждого измерения.
Типовые промахи: брать выборочную формулу для полной совокупности (завышение на малых N); терять точность, округляя среднее до возведения в квадрат; сравнивать σ рядов разного масштаба без CV; забывать, что σ имеет те же единицы, что и данные. Формулы держит калькулятор стандартного отклонения, промахи — вы.
Что считает калькулятор и чего нет
Расчёт по агрегатам N, Σx, Σx²: среднее арифметическое, генеральная дисперсия и σ делением на N, выборочная дисперсия и s поправкой Бесселя N−1, коэффициент вариации обеими версиями. Формулы сверены 27.08.2026 с poschitat.online (стандартное отклонение и дисперсия — те же эталоны 2,00 и 1,41). Калькулятор стандартного отклонения воспроизводит обе проверки.
Не считает: медиану и моду, квартили и межквартильный размах, асимметрию и эксцесс, стандартную ошибку среднего, ковариацию двух рядов. Эти описательные метрики — следующий уровень статистики.
FAQ
Чем генеральная дисперсия отличается от выборочной?
Знаменателем: N против N−1. Генеральная делит на всё количество — она описывает именно эти данные; выборочная делит на N−1 (поправка Бесселя) и честнее оценивает дисперсию всей генеральной совокупности по части данных. Для N = 8: 4,00 против 4,57.
Почему считают через Σx²?
Это «рабочая формула» дисперсии: среднее квадратов минус квадрат среднего. Она не требует двух проходов по данным — удобна для потоковых вычислений и для задач, где значения даны агрегатами. 232 ÷ 8 − 5² = 29 − 25 = 4.
Что показывает коэффициент вариации?
Относительный разброс: σ, делённое на среднее, в процентах. Однородным считается ряд с CV до 10 %, умеренным — до 25 %, сильно разбросанным — выше трети. Эталонный ряд имеет CV = 40 % — данные заметно разбросаны.
Когда стандартное отклонение равно нулю?
Когда все значения одинаковы: среднее квадратов равно квадрату среднего. Для ряда из одинаковых сотен σ = 0 и CV = 0 %. Если формула даёт нуль на реальных данных — проверьте ввод, разброс нулевым не бывает почти никогда.
Где применяют σ на практике?
В контроле качества (допуски ±3σ), в лабораторных измерениях (погрешность серии), в финансах (волатильность доходности), в педагогике (нормирование оценок). Везде σ отвечает на один вопрос: насколько типичное значение отклоняется от среднего.
Формулы и эталоны: poschitat.online — стандартное отклонение; дисперсия вторым источником: poschitat.online — дисперсия. Обновлено: 27.08.2026. Описательная статистика без проверки распределения; правило ±σ справедливо для колоколообразных данных.
Введите N, сумму и сумму квадратов — калькулятор стандартного отклонения выдаст среднее, обе дисперсии, σ, s и коэффициент вариации.