Разложение числа на простые множители — калькулятор
Каноническое разложение с решением столбиком, τ(n) и σ(n)
| Число | Каноническое разложение | τ(n) | σ(n) | Класс |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 2 × 3 | 4 | 12 | совершенное |
| 12 | 2² × 3 | 6 | 28 | избыточное |
| 17 | 17 | 2 | 18 | простое, недостаточное |
| 28 | 2² × 7 | 6 | 56 | совершенное |
| 100 | 2² × 5² | 9 | 217 | недостаточное |
| 360 | 2³ × 3² × 5 | 24 | 1 170 | избыточное |
| 2 520 | 2³ × 3² × 5 × 7 | 48 | 9 360 | избыточное |
Разложение числа на простые множители 2026 — калькулятор онлайн с решением
Разложение числа на простые множители этот калькулятор делает за один шаг: раскладывает любое целое число от 2 до 10¹² в каноническую форму из основной теоремы арифметики и показывает полное решение столбиком. Алгоритм — пробное деление: число делится на двойку, затем на нечётные кандидаты до квадратного корня; каждый шаг выводится с промежуточным частным — 360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1, итог 360 = 2³ × 3² × 5.
Основная теорема арифметики гарантирует: такое представление единственно для каждого числа больше единицы — с точностью до порядка множителей. Помимо разложения калькулятор разложения на простые множители считает функции делителей из теории чисел: число делителей τ(n) = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24 для 360 и сумму всех делителей σ(n) = (2⁴−1)/(2−1) × (3³−1)/(3−1) × (5²−1)/(5−1) = 15 × 13 × 6 = 1 170.
По сумме собственных делителей s(n) = σ(n) − n определяется класс числа: недостаточное (большинство чисел и все простые), совершенное (6 = 1+2+3, 28, 496) или избыточное (12, 18, 20). Простое число калькулятор распознаёт сразу: у него ровно два делителя — 1 и оно само. Эталон: 360 = 2³ × 3² × 5, делителей 24, сумма делителей 1 170; 2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7, делителей 48, сумма 9 360. Границы честны: предел 10¹² задан методом пробного деления — перебор идёт до миллиона кандидатов, для больших чисел нужны специальные алгоритмы факторизации, а НОД и НОК пары чисел считает отдельный калькулятор. Введите число — разложение, шаги и функции делителей придут одним блоком.
Разложить число на множители →
Формулы: основная теорема арифметики и функции делителей
Основная теорема арифметики: всякое целое n > 1 = p1^α1 × p2^α2 × … × pk^αk — произведение простых чисел, единственное с точностью до порядка. Эталон: 360 = 2³ × 3² × 5.
Число делителей: τ(n) = (α1+1)(α2+1)…(αk+1); сумма делителей: σ(n) = (p1^(α1+1)−1)/(p1−1) × … (Википедия, «Функция делителей»). Эталон для 360: τ = 4×3×2 = 24; σ = 15×13×6 = 1 170.
Класс числа по сумме собственных делителей s(n) = σ(n) − n: s = n — совершенное (6, 28, 496); s > n — избыточное (12, 18, 20); s < n — недостаточное. Простое число: τ(n) = 2.
Определения и признаки делимости
Справочная база калькулятора — классические факты теории чисел:
| Понятие | Определение / признак | Пример |
|---|---|---|
| Простое число | натуральное больше 1 ровно с двумя делителями: 1 и само число | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 |
| Составное число | натуральное больше 1 с делителями, кроме 1 и себя | 4, 6, 9, 360 |
| Единица | ни простое, ни составное | τ(1) = 1 |
| Признак делимости на 2 | последняя цифра чётная | 360 делится на 2 |
| Признак делимости на 3 и 9 | сумма цифр кратна 3 (или 9) | 3+6+0 = 9 → 360 делится на 9 |
| Признак делимости на 5 и 10 | оканчивается на 0 или 5 (на 10 — только 0) | 360 делится на 5 и 10 |
| Признак делимости на 11 | знакопеременная сумма цифр кратна 11 | 121: 1−2+1 = 0 → делится |
| Предел пробного деления | достаточно проверить делители до √n | √360 ≈ 19 |
Как это работает: от пробного деления до криптографии
Шесть фактов, которые делают разложение на множители полезным инструментом:
- Пробное деление и его предел Алгоритм калькулятора перебирает кандидатов в делители до квадратного корня числа: для 360 это 19, для триллиона — миллион. Если до √n делитель не найден, остаток прост. Дальше производительность упирается в перебор, поэтому для чисел в сотни цифр применяют ро-алгоритм Полларда и квадратичное решето.
- Сокращение дробей Дробь сокращается на НОД числителя и знаменателя, а НОД легко увидеть из разложений: берутся общие простые множители в наименьших степенях. 360/2520: общие 2³×3²×5 = 360 → дробь равна 1/7.
- НОД и НОК пары чисел НОК собирается из всех простых обоих разложений в наибольших степенях: для 48 = 2⁴×3 и 36 = 2²×3² НОД = 2²×3 = 12, НОК = 2⁴×3² = 144. Для пары чисел на сайте работает отдельный калькулятор НОД и НОК — он не дублирует этот расчёт.
- Совершенные числа Число совершенно, если равно сумме собственных делителей: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14, 496, 8128. Все известные совершенные числа имеют вид 2^(p−1)(2^p − 1) при простом 2^p − 1 (числа Мерсенна); нечётных совершенных чисел никто не нашёл — это открытая проблема.
- Избыточность и дружелюбные числа Избыточные числа (s > n) — почти половина всех натуральных; на них строятся практические системы мер: 12, 24, 60, 360 делятся на много мелких частей. Дружелюбные пары — числа, у которых s одного равно другому (220 и 284) — исторический курьёз теории чисел.
- Криптография RSA Стойкость RSA держится на асимметрии: перемножить два 300-значных простых числа легко, а разложить произведение обратно — практически невозможно на современных компьютерах. Открытый ключ — произведение, закрытый — разложение; поэтому простые числа ищут тестами Миллера — Рабина, а не перебором.
Калькулятор разложения на простые множители делает рутинную часть — пробное деление и функции делителей; эти шесть фактов показывают, зачем результат нужен: от сокращения дробей в школе до защиты данных в интернете.
Примеры разложения чисел
360 — классический пример. 360 : 2 = 180; 180 : 2 = 90; 90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Итог: 360 = 2³ × 3² × 5; τ(360) = 4×3×2 = 24 делителя; σ(360) = 15×13×6 = 1 170; s = 810 > 360 — число избыточное.
17 — простое число. Перебор до √17 ≈ 4,1: на 2, 3 не делится; остаток 17 > 1 — прост. 17 = 17; τ = 2 делителя (1 и 17); σ = 18; s = 1 — недостаточное. Все простые числа недостаточны.
2 520 — Highly composite. 2 520 = 2³ × 3² × 5 × 7; τ = 4×3×2×2 = 48 делителей — рекорд среди чисел до 2 520; σ = 15×13×6×8 = 9 360. На 2 520 делятся все числа от 1 до 10 — поэтому его любят задачи на общие графики и расписания.
28 — совершенное число. 28 = 2² × 7; τ = 3×2 = 6; σ = 7×8 = 56; s = 56 − 28 = 28 — равно самому числу: 28 = 1+2+4+7+14. Следующие совершенные — 6, 496, 8128.
Как раскладывать числа вручную: памятка
Начинайте с признака делимости: чётное — делите на 2 до нечётного; сумма цифр кратна 3 — делите на 3; оканчивается на 5 — на 5. Так крупные множители уходят первыми и перебор сокращается.
Держите предел √n: перебирать кандидатов дальше квадратного корня текущего остатка бессмысленно — если остаток не разделился ни на что до √, он простой. Для 360 предел 19, и фактически всё решилось на 5.
Записывайте канонически — простые по возрастанию со степенями: 2³ × 3² × 5. Такая форма нужна для НОД (общие в наименьших степенях) и НОК (все в наибольших степенях) и для проверки по калькулятору.
Проверяйте себя умножением: 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360. Калькулятор разложения на простые множители делает ту же проверку автоматически и дополнительно выдаёт τ и σ — сверьте с ручным счётом на учебных примерах.
Разложение числа на простые множители: границы калькулятора
Калькулятор разложения на простые множители раскладывает целые числа от 2 до 10¹² методом пробного деления, выводит решение столбиком, каноническую запись по основной теореме арифметики, число делителей τ(n), сумму делителей σ(n) и класс числа по s(n) = σ(n) − n. Формулы сверены с источниками 30.09.2026.
Не применяйте калькулятор для чисел больше 10¹² (пробное деление неэффективно — нужны ро-Поллард и квадратичное решето), для отрицательных чисел и дробей (сокращение дробей — в калькуляторе дробей), для поиска НОД и НОК пары чисел (отдельный калькулятор НОД и НОК) и для криптографической факторизации больших модулей RSA — это задача специализированных алгоритмов и кластеров.
FAQ
Что говорит основная теорема арифметики?
Всякое целое число больше единицы представляется в виде произведения простых чисел, и это представление единственно с точностью до порядка множителей. Например, 360 = 2³ × 3² × 5, и никакой другой набор простых множителей со степенями не даст 360.
Как разложить число на простые множители вручную?
Методом пробного деления: делите число на 2, пока делится, затем на 3, 5, 7 и другие простые до квадратного корня из числа. Признаки делимости помогают: чётные делятся на 2, сумма цифр кратна 3 — делится на 3, оканчивается на 0 или 5 — на 5. Если после перебора до √n остаток больше 1 — он простой.
Как по разложению найти число и сумму делителей?
Для n = p1^α1 × p2^α2 × … число делителей τ(n) = (α1+1)(α2+1)…, сумма делителей σ(n) = (p1^(α1+1)−1)/(p1−1) × … Для 360 = 2³×3²×5: τ = 4×3×2 = 24 делителя, σ = 15×13×6 = 1 170.
Что такое совершенное число?
Число, равное сумме своих собственных делителей (всех делителей, кроме самого числа): 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14, 496. Если сумма больше числа — оно избыточное (12, 18, 20), меньше — недостаточное (все простые и большинство составных). Разложение числа на простые множители округляет до сотых, поэтому результат удобно переносить в чертёж и смету без лишних знаков. Смежные калькуляторы сайта продолжают расчёт: разложение числа на простые множители задаёт для них исходную отметку или режим. Показывает нормативный минимум режима, а не фактический счётчик: разложение числа на простые множители считает по тем же пунктам норматива, что и эта статья.
Где применяется разложение на простые множители?
Сокращение дробей и приведение к общему знаменателю, поиск НОД и НОК (берутся общие и все простые с нужными степенями), криптография: стойкость RSA основана на трудности факторизации произведения двух больших простых чисел. Проверьте смежные страницы сайта: разложение числа на простые множители связан с ними перелинковкой для удобства. Итог округляется до сотых: разложение числа на простые множители выдаёт отметку, которую удобно переносить в смету. Для смежных режимов и соседних страниц разложение числа на простые множители остаётся той же точкой отсчёта. Сомневаетесь в исходных — возьмите паспорт изделия: разложение числа на простые множители примет любые корректные числа. Таблицы и нормы этой статьи собраны там же, где их берёт разложение числа на простые множители: в действующих редакциях документов.
Источники: Основная теорема арифметики: всякое целое число больше единицы представляется произведением простых чисел единственным образом с точностью до порядка множителей; Функции делителей: τ(n) = σ0(n) — число делителей, σ(n) = σ1(n) — сумма делителей, s(n) = σ(n) − n — сумма собственных делителей и классификация совершенных, избыточных и недостаточных чисел; Метод пробного деления: перебор делителей до квадратного корня числа, сложность O(√n). Обновлено: 01.10.2026. Расчёт учебный: предел 10¹² задан методом пробного деления; для больших чисел применяются специальные алгоритмы факторизации. Сохраните закладку: разложение числа на простые множители пригодится на каждом этапе монтажа и приёмки. Разложение числа на простые множители не заменяет проект, но задаёт нижнюю границу, ниже которой опускаться нельзя.
Введите целое число от 2 до 10¹² — калькулятор разложения на простые множители покажет каноническое разложение, решение столбиком, число и сумму делителей. Показывает нормативный минимум режима, а не фактический счётчик: разложение числа на простые множители считает по тем же пунктам норматива, что и эта статья. Если исходные изменились, разложение числа на простые множители пересчитает результат за секунду — держите ссылку под рукой. Ссылку на разложение числа на простые множители держите под рукой: нормативы обновляются, и расчёт вместе с ними. Перед покупкой материалов прогоните разложение числа на простые множители ещё раз — правка проекта дешевле переделки. Разложение числа на простые множители считает по действующей редакции нормативов, без устаревших таблиц. Практика показывает: разложение числа на простые множители экономит час поисков по таблицам и сниппетам.