Калькулятор геометрической прогрессии — n-й член и сумма ряда

Калькулятор геометрической прогрессии — n-й член и сумма ряда

Калькулятор геометрической прогрессии отвечает на три вопроса, где «прибавить» уже не работает: «зерно на первую клетку, два на вторую — сколько на шестьдесят четвёртую?» — геометрический ряд; «вклад растёт на процент в месяц — что будет через два года?» — тоже он; «сумма затухающего ряда вообще имеет предел?» — имеет, и это одна строчка формулы.

Найти bₙ и Sₙ →

Как работает калькулятор геометрической прогрессии: формулы

Член с любым номером: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Первый член умножается на знаменатель ровно n−1 раз: от первого до восьмого члена — семь умножений, поэтому в степени (n−1), а не n.

Сумма первых n членов при q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ−1) ÷ (q−1). Для эталона b₁ = 3, q = 2, n = 8: S₈ = 3 × (256 − 1) ÷ 1 = 765. Калькулятор геометрической прогрессии считает обе формулы за одну подстановку.

Бесконечная убывающая прогрессия при |q| < 1 имеет конечную сумму: S∞ = b₁ ÷ (1 − q). Ряд 100, 50, 25… сходится к 200. При q = 1 формула суммы вырождается в Sₙ = b₁·n, и калькулятор геометрической прогрессии учитывает этот случай отдельной веткой.

Проверочные эталоны прогрессии

Примеры, по которым калькулятор геометрической прогрессии сверен с открытыми разборщиками 18.08.2026:

От чего зависит реальный расход

Калькулятор геометрической прогрессии держит арифметику строго, но у геометрических рядов есть свои «человеческие» ловушки:

• Степень n−1, а не n. От первого члена до восьмого — семь умножений, а не восемь. Мнемоника та же, что у арифметической: между восемью столбами семь пролётов. Ошибка в степени на единицу — это ответ, отличающийся в q раз.
• Знак знаменателя. Отрицательный q заставляет члены чередовать знаки: 2, −6, 18, −54… Формулы работают прежние — просто подставляйте −3 целиком, с минусом, иначе ряд превратится в другой.
• Особый случай q = 1. При знаменателе-единице формула суммы делит на ноль — и это не сбой, а вырождение: все члены равны b₁, сумма равна b₁·n. Калькулятор геометрической прогрессии переключается на эту ветку сам.
• Когда сумма бесконечности конечна. Предел S∞ существует только при |q| < 1. При q = 2 «сумма всех членов» — бесконечность, и формула b₁/(1−q) врёт: она даст отрицательное число вместо очевидной бесконечности.
• Задачи в обратную сторону. «Найти q по двум членам» или «с какого члена ряд превысит миллион» решаются через логарифм — это обратные задачи, и они выходят за рамки прямой подстановки: сначала находится q, потом этот калькулятор проверяет ответ.

Рабочая схема: выписать b₁, q, n словами → калькулятор геометрической прогрессии → сверка свойством bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁ → перенос в тетрадь с записью обеих формул. Машина держит степени, смысл роста или затухания держите вы.

Практические примеры расчёта

Школьный эталон: b₁ = 3, q = 2, n = 8. b₈ = 3 × 2⁷ = 384; S₈ = 3 × (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1) = 765 — разбор, идентичный открытым решебникам.

Степени двойки: 1, 2, 4…. b₁ = 1, q = 2, n = 9: b₉ = 2⁸ = 256; S₉ = 2⁹ − 1 = 511 — тот самый ряд из легенды о шахматной доске.

Затухание: b₁ = 100, q = 0,5. b₅ = 100 × 0,5⁴ = 6,25; бесконечная сумма S∞ = 100 ÷ (1 − 0,5) = 200 — предел затухающего ряда конечен.

Сложный процент: 100 000 ₽ под 1 % в месяц. q = 1,01, n = 25 (старт + 24 начисления): b₂₅ = 100 000 × 1,01²⁴ ≈ 126 973,5 ₽ — депозит это геометрическая прогрессия со знаменателем 1 + r.

Чередование знаков: b₁ = 2, q = −3, n = 4. b₄ = 2 × (−3)³ = −54; S₄ = 2 × ((−3)⁴ − 1) ÷ (−3 − 1) = −40 — формулы не боятся минуса.

Как решать и не терять степени

Запишите задачу тремя параметрами: «ряд начинается с тройки, каждый член вдвое больше, нужен восьмой». Перенесите их в калькулятор геометрической прогрессии: b₁ = 3, q = 2, n = 8 — и получите b₈ = 384, S₈ = 765 вместе с записью действий для тетради.

Типовые промахи: ставить n в степень вместо n−1; терять минус у знаменателя; применять S∞ к растущему ряду; путать с арифметической прогрессией, где прибавляют, а не умножают. Калькулятор геометрической прогрессии показывает формулы рядом с ответом, чтобы каждый шаг можно было сверить глазами.

Что считает калькулятор и чего нет

Расчёт строго по трём формулам: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1) при q ≠ 1 и Sₙ = b₁·n при q = 1, плюс печать S∞ = b₁/(1−q) для |q| < 1. Сверено 18.08.2026 с calculatorov.ru (те же три формулы и пример сложного процента q = 1,01, n = 25) и findh.org (вторая форма суммы через bₙ, свойство bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁ и равенство произведений при m+n = k+p). Калькулятор геометрической прогрессии воспроизводит все перечисленные эталоны.

Не решает обратные задачи: «найти знаменатель по двум членам», «номер члена, превышающего порог», логарифмирование. Для них сначала находится q или n вручную — потом этот калькулятор геометрической прогрессии проверяет результат прямой подстановкой.

FAQ

Что такое геометрическая прогрессия?

Числовой ряд, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q — знаменатель прогрессии: 3, 6, 12, 24… с q = 2. При q > 1 ряд разгоняется, при 0 < q < 1 — затухает, при отрицательном q — чередует знаки.

Как найти n-й член геометрической прогрессии?

Формулой bₙ = b₁·qⁿ⁻¹: первый член умножается на знаменатель в степени «номер минус один». Пример: b₁ = 3, q = 2, n = 8 — b₈ = 3 × 2⁷ = 384. Калькулятор геометрической прогрессии делает возведение в степень и показывает запись решения.

Чем сумма при q ≠ 1 отличается от случая q = 1?

При q ≠ 1 сумма первых n членов считается формулой Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1) — так, для ряда 3, 6, 12… получаем S₈ = 3 × (2⁸ − 1) ÷ 1 = 765. При q = 1 все члены одинаковы, формула вырождается, и сумма — просто b₁ × n.

Что такое сумма бесконечной геометрической прогрессии?

Если |q| < 1, члены ряда тают, и сумма всех бесконечных членов сходится к числу S∞ = b₁ ÷ (1 − q). Например, ряд 100, 50, 25… с q = 0,5 сходится к 100 ÷ 0,5 = 200. Калькулятор геометрической прогрессии печатает S∞ автоматически, когда знаменатель по модулю меньше единицы.

Где в жизни встречается геометрическая прогрессия?

В сложном проценте: вклад 100 000 ₽ под 1 % в месяц — это ряд с q = 1,01, и через два года на счету 100 000 × 1,01²⁴. А также в делении клеток, распространении новостей по цепочке, радиоактивном распаде (q < 1) и затухании колебаний маятника.

Формулы члена, суммы и пример сложного процента с q = 1,01: calculatorov.ru — калькулятор прогрессии; свойство квадрата члена и вторая форма суммы: findh.org — геометрическая прогрессия. Обновлено: 18.08.2026. Математический расчёт; убедитесь, что в задаче рост действительно мультипликативный, а не аддитивный.

Введите первый член, знаменатель и номер — калькулятор геометрической прогрессии покажет bₙ, сумму и пошаговую запись.