Калькулятор векторов — длина, скалярное произведение и угол

Калькулятор векторов — длина, скалярное произведение и угол

Калькулятор векторов закрывает триста лет споров о «числах с направлением»: сила ветра, скорость лодки против течения, сдвиг руки робота — всё это векторы, и у всех одни и те же три вопроса. Какой длины? Какое скалярное произведение? Какой угол между ними? Четыре числа в полях — и все три ответа с решением.

Считать векторы →

Как работает калькулятор векторов: три формулы

Длина (модуль) вектора: |a| = √(x² + y²) — теорема Пифагора в чистом виде. Эталон: a = (3; 4) даёт √25 = 5.

Скалярное произведение: a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Для пары (3; 4) и (1; 2): 3 + 8 = 11. То же произведение через геометрию: a·b = |a|·|b|·cosθ — из этого равенства и берётся угол.

Угол между векторами: cosθ = a·b ÷ (|a| × |b|). Подстановка эталона: 11 ÷ (5 × 2,2361) = 0,9839, значит θ ≈ 10,3°. Калькулятор векторов считает все три формулы одним нажатием и перестраховывает косинус от выхода за ±1 из-за округлений.

Проверочные эталоны векторов

Примеры, по которым калькулятор векторов сверен с открытыми разборщиками 18.08.2026:

От чего зависит реальный расход

Калькулятор векторов подставляет числа безошибочно, а слабые места темы — смысловые:

• Скалярное — это число, не вектор. Произведение x₁x₂ + y₁y₂ возвращает одно число: работу, проекцию, «согласованность» направлений. Путать его с вектором — типовая ошибка первой контрольной.
• Знак скалярного читается как угол. a·b > 0 — угол острый; a·b < 0 — тупой; a·b = 0 — прямой. Для противоположных векторов произведение равно −|a|², угол 180°.
• Нулевой вектор вне игры. У (0; 0) нет направления, делить на его длину нельзя: угол с нулевым вектором не определён. Калькулятор векторов останавливает такой ввод предупреждением, а не «NaN».
• Округление косинуса. Из-за дробной арифметики cs иногда вылезает за 1 на миллиардную — арккосинус от этого ломается. Калькулятор векторов зажимает значение в диапазон ±1 перед переводом в градусы.
• Формула для плоскости. Здесь две координаты — двумерный случай. В пространстве добавляется z и векторное произведение; для них у темы есть отдельные инструменты и разделы.

Порядок действий: записать оба вектора парами чисел → калькулятор векторов → сверить знак скалярного с ожидаемым типом угла → перенести формулы в тетрадь. Числа держит машина, геометрический смысл держите вы.

Практические примеры расчёта

Длина: a = (3; 4). |a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 — египетская тройка, самый цитируемый вектор школы.

Скалярное и угол: a = (3; 4), b = (1; 2). a·b = 3×1 + 4×2 = 11; cosθ = 11 ÷ (5 × 2,2361) ≈ 0,9839 → θ ≈ 10,3°; сумма (4; 6), разность (2; 2).

Перпендикуляры: a = (1; 0), b = (0; 1). a·b = 1×0 + 0×1 = 0 — скалярное нуль, значит θ = 90°: орты осей перпендикулярны по определению.

Эталон клуба: a = (3,2; 4,4). |a| = √(10,24 + 19,36) = √29,6 ≈ 5,4406 — дробные координаты считаются тем же Пифагором.

Противоположные: a = (2; 3), b = (−2; −3). a·b = −4 − 9 = −13; cosθ = −1 → θ = 180° — скалярное произведение минус квадрат длины.

Как решать задачи векторной геометрии

Переведите рисунок в координаты: «сместили на 3 вправо и 4 вверх» — это вектор (3; 4). Внесите обе пары в калькулятор векторов: получите длины 5 и 2,2361, скалярное 11 и угол 10,3° со всей записью подстановки — её можно переносить в тетрадь без сокращений.

Типовые промахи: считать скалярное вектором; терять минус у отрицательного скалярного; забывать про нулевой вектор; путать перпендикулярность (a·b = 0) с параллельностью (координаты пропорциональны). Калькулятор векторов удерживает формулы, знаки и перестраховку косинуса — смысл угла остаётся на вас.

Что считает калькулятор и чего нет

Расчёт строго по формулам плоской векторной алгебры: |a| = √(x²+y²), a·b = x₁x₂ + y₁y₂, cosθ = a·b/(|a||b|) с зажимом косинуса в ±1, плюс покоординатные сумма и разность. Сверено 18.08.2026 с calculatorov.ru (тот же набор операций и формула угла; векторное произведение у них — только 3D) и matematika-club.ru (знак скалярного по типу угла, эталон |(3,2; 4,4)| = √29,6 = 5,4406). Калькулятор векторов воспроизводит все приведённые эталоны.

Не считает: трёхмерные векторы с z-координатой, векторное произведение (крест), смешанное произведение, разложение по базису. Для этих задач — профильные инструменты линейной алгебры; здесь — честная плоская геометрия.

FAQ

Как найти длину вектора по координатам?

По теореме Пифагора: |a| = √(x² + y²). Для вектора (3; 4) длина равна √(9 + 16) = √25 = 5 — знаменитая египетская тройка. Калькулятор векторов расписывает подкоренную сумму отдельной строкой.

Что такое скалярное произведение векторов?

Число, равное сумме произведений одноимённых координат: a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Для a = (3; 4) и b = (1; 2): a·b = 3×1 + 4×2 = 11. Геометрический смысл: произведение длин на косинус угла между векторами.

Как вычислить угол между векторами?

Из определения скалярного: cosθ = a·b ÷ (|a|×|b|). Для тех же векторов: cosθ = 11 ÷ (5 × 2,2361) ≈ 0,9839, откуда θ ≈ 10,3°. Калькулятор векторов считает косинус и сразу переводит его в градусы.

Как понять, что векторы перпендикулярны?

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними 90°: (1; 0)·(0; 1) = 0. Это самый быстрый тест перпендикулярности во всех задачах аналитической геометрии.

Как складываются и вычитаются векторы?

Покоординатно: (3; 4) + (1; 2) = (4; 6), а (3; 4) − (1; 2) = (2; 2). Геометрически это правила параллелограмма и треугольника. Калькулятор векторов выводит оба результата одной строкой вместе с углом и длинами.

Операции с векторами и формула угла: calculatorov.ru — калькулятор векторов; знак скалярного по типу угла и эталон √29,6: matematika-club.ru — скалярное произведение. Обновлено: 18.08.2026. Математический расчёт по координатам; убедитесь, что векторы заданы в одной системе координат.

Введите координаты обоих векторов — калькулятор векторов покажет длины, скалярное произведение, угол и сумму.